Abi Baden-Württemberg 2015 Wahlteil A1

Aufgabe A 1

Der Laderaum eines Lastkahns ist lang. Sein Querschnitt ist auf der gesamten Länge gleich und wird modellhaft beschrieben durch den Graphen der Funktion mit

1. Wie tief ist der Laderaum in der Mitte?
   Wie breit ist er in Höhe?
   In welchem Bereich hat der Boden des Laderaums eine Neigung unter ?
   Berechnen Sie das Volumen des Laderaums.
   (5 VP)
2. Zur Wartung steht der Lastkahn an Land auf einer ebenen Plattform. Dort wird er stabilisiert durch gerade Stützen, die orthogonal zur Außenwand des Laderaums angebracht sind. Betrachtet werden zwei einander gegenüberliegende Stützen, deren Befestigungspunkte im Modell durch die Punkte und beschrieben werden.
   In welchem Abstand voneinander enden diese Stützen auf der Plattform?
   (3 VP)
3. Der Laderaum kann durch eine horizontale Zwischendecke der Länge in zwei Teilräume geteilt werden. Das Volumen des unteren Teilraums beträgt .
   Berechnen Sie die Breite der Zwischendecke.
   (4 VP)
4. Untersuchen Sie, ob sich eine zylinderförmige Röhre mit Außendurchmesser so in Längsrichtung in den Laderaum legen lässt, dass sie ihn an der tiefsten Stelle berührt.
   (3 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe A 1

1. Skizze

   Im folgenden Schaubild ist der Graph der Funktion skizziert.

   Tiefe des Laderaums

   Der Graph der Funktion ist für monoton fallend und für monoton wachsend. Die Tiefe des Laderaumes in der Mitte ergibt sich also als Differenz der Funktionswerte an den Rändern des Bereichs und am Nullpunkt. Es gilt:
   Somit ist der Laderaum in der Mitte tief.

   Breite in Höhe

   Im folgenden Schaubild ist die Breite des Ladebodens in Höhe dargestellt.

   Zunächst werden die Schnittpunkte des Graphen mit der Gerade bestimmt. Es gilt:
   Die Breite des Stollens in Höhe ist damit gegeben durch:
   In Höhe ist der Laderaum ungefähr breit.

   Bereich mit weniger als Neigung

   Die Neigung des Stollens wird durch den Wert der Steigung des Graphen an dieser Stelle bestimmt. Gesucht sind also diejenigen Stellen, an denen die Tangente an den Graphen von kleiner als ist. Zunächst wird die Ableitung der Funktion bestimmt. Es gilt:

   Gesucht sind damit die Lösungen der Gleichung:
   Der Ladeboden hat an der Stelle eine Neigung von . Aus der Zeichnung kann abgelesen werden, dass der Ladeboden für eine größere Steigung besitzt. Desweiteren ist der Ladeboden symmetrisch zur -Achse, denn es gilt:
   Der Bereich, in dem die Neigung kleiner als ist, befindet sich also zu beiden Seiten der Mitte.

   Volumen des Laderaumes

   Das Volumen des Laderaumes in Kubikmetern ergibt sich aus dem Produkt der Querschnittsfläche und der Länge von . Die Querschnittsfläche ist die Fläche, die vom Graphen von und der Geraden eingeschlossen wird, da sich die Oberkante des Laderaumes auf Höhe befindet. Es gilt also:

   Für das Volumen des Laderaumes gilt:
   Das Volumen des Laderaumes beträgt somit .

2. Abstand der Stützen

   In der folgenden Skizze wird der Sachverhalt verdeutlicht.

   Gesucht sind die Punkte und , die auf den Normalen an den Graphen von an den Punkten und liegen. Zunächst werden die vollständigen Koordinaten der Punkte und bestimmt. Es gelten:
   Die Punkte und liegen auf der Normalen an den Graphen von im Punkt und die Punkte und liegen auf der Normalen an den Graphen von im Punkt . Die Steigung der Normalen an den Graphen von kann wie folgt aus der Steigung der Tangente an den Graphen von bestimmen:
   Die Steigung der Tangente entspricht dem Wert der ersten Ableitung an der Stelle :
   und damit:
   Die Steigung der Geraden durch und kann außerdem mithilfe des Steigungsdreiecks zwischen diesen beiden Punkten bestimmt werden:
   Die beiden Punkte und liegen auf der Normalen, somit muss die Steigung mit der Steigung übereinstimmen:
   Der Abstand der Enden der Stützen ist dann das Doppelte von diesem Wert:
   Die Stützen enden somit in einem Abstand von etwa auf der Plattform.

3. Das Volumen des unteren Raumes kann als das Produkt von dessen Querschnittsfläche mit dessen Länge berechnet werden. Die Querschnittsfläche des unteren Raumes muss also betragen.

   Skizze

   In der folgenden Skizze wird der Sachverhalt veranschaulicht.

   Da der Laderaum symmetrisch ist, befindet sich die Zwischendecke im Querschnitt zwischen zwei Punkten der Form und .

   Querschnittsfläche des unteren Raumes

   Die Fläche entspricht der von den Graphen von und von eingeschlossenen Fläche. Es gilt:

   Wert für

   Der Flächeninhalt dieser Fläche muss betragen. Es muss also gelten:

   Breite des Zwischendecks

   Der Abstand der Punkte und ist nun das Doppelte dieses Wertes:

   Die Breite der Zwischendecke beträgt also ungefähr .

4. Die Querschnittsfläche des Zylinders ist ein Kreis mit Radius . Wenn der Zylinder so in den Lagerraum passt, dass er an der tiefsten Stelle aufliegt, dann befindet sich der Mittelpunkt dieses Kreises bei .
   Der Zylinder passt genau dann in den Laderaum, wenn dann kein Punkt des Graphen von näher an liegt als . Der Abstand eines Punktes zum Punkt ist gegeben durch:

   Der Zylinder passt also nicht in den Laderaum, falls folgende Bedingung erfüllt ist:
   Dies ist genau dann der Fall, wenn der Graph von , definiert durch
   unterhalb der -Achse verläuft. Im folgenden Schaubild ist der Graph von dargestellt.
   Die Nullstellen von werden bestimmt und sie liegen bei:
   Für alle und verläuft der Graph von unterhalb der -Achse und damit ist der Abstand des Graphen von zum Punkt in diesem Bereich kleiner als . Der Zylinder passt also nicht so in den Laderaum, dass er an der tiefsten Stelle des Laderaums aufliegen kann.