Videolösungen
Aufgabe
Aufgabe 1
Bilden Sie die Ableitung der Funktion
Aufgabe 2
Berechnen Sie das Integral
Aufgabe 3
Lösen Sie die Gleichung
Aufgabe 4
Der Graph einer ganzrationalen Funktion
Aufgabe 5
Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion
(1) Der Graph von
(2)
(3)
(4) Der Grad der Funktion
Aufgabe 6
Gegeben sind die drei Punkte
- Zeigen Sie, dass das Dreieck
gleichschenklig ist. - Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes, der das Dreieck
zu einem Parallelogramm ergänzt.
Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, wie viele solcher Punkte es gibt.
Aufgabe 7
Gegeben ist die Ebene
- Stellen Sie
in einem Koordinatensystem dar. - Bestimmen Sie alle Punkte der
-Achse, die von den Abstand 3 haben.
Aufgabe 8
Ein Glücksrad hat drei farbige Sektoren, die beim einmaligen Drehen mit folgenden Wahrscheinlichkeiten angezeigt werden:
Das Glücksrad wird
Die Zufallsvariable
- Begründen Sie, dass
binomialverteilt ist.
Die Tabelle zeigt einen Ausschnitt der Wahrscheinlichkeitsverteilung von
- Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens dreimal Rot angezeigt wird.
- Entscheiden Sie, welcher der folgenden Werte von
der Tabelle zugrunde liegen kann: 20, 25 oder 30.
Begründen Sie Ihre Entscheidung.
Aufgabe 9
Mit
Skizzieren Sie diesen Sachverhalt und beschreiben Sie den Körper.
Lösung
Lösung zu Aufgabe 1
Die Funktion
Lösung zu Aufgabe 2
Um den Wert des Integrals
Lösung zu Aufgabe 3
Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Es gilt
Lösung zu Aufgabe 4
Eine allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades lautet
Die Information "Der Graph der Funktion hat im Ursprung einen Hochpunkt." liefert die ersten beiden Bedingungen:
(1) Der Graph der Funktion verläuft durch den Punkt
(2) Die Ableitung an dieser ist Stelle
Die Information "Der Graph der Funktion hat bei
(3) Da die Steigung einer Tangente in einem Punkt mit dem Wert der Ableitung an dieser Stelle übereinstimmt, beträgt die Steigung an der Stelle
(4) Der Punkt, an dem die Tangente anliegt, ist sowohl Punkt der Tangente als auch Punkt des Graphen von
Diesen Punkt erhält man, indem man
Lösung zu Aufgabe 5
(1) Die Aussage ist wahr:
Die Ableitungsfunktion hat bei
(2) Die Aussage ist wahr:
Es gilt
Daraus folgt also
(3) Die Aussage ist falsch:
Der Graph von
(4) Die Aussage ist wahr:
Die Funktion
Lösung zu Aufgabe 6
- Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn zwei Seiten gleich lang sind.
Da
ist das Dreieck gleichschenklig. - Ein Parallelogramm hat zwei Paare jeweils gegenüberliegender paralleler Seiten.
Eine Seite jedes Paares ist hierbei eine Seite des Dreiecks
. Dann ergibt sich beispielsweise der Punkt, in dem an den Vektor vom Ursprung zum Punkt der Vektor angesetzt wird: Derselbe Punkt ergibt sich, wenn vom Ursprung zum Punktbegonnen und dann der Vektor addiert wird. \needspace{4\baselineskip} Es gibt noch zwei weitere Punkte, die das Dreieck zu einem Parallelogramm vervollständigen können: und
Lösung zu Aufgabe 7
- Da in der Ebenengleichung der Koeffizient vor
in diesem Fall ist, verläuft die Ebene parallel zur -Achse. Somit hat die Ebene nur die beiden folgenden Spurpunkte:
Fürergibt sich der Schnittpunkt der Ebene mit der -Achse:
Fürergibt sich der Schnittpunkt der Ebene mit der -Achse::
Mit diesen Informationen lässt sich nun die Ebene zeichnen:
- Den Abstand eines Punktes
von einer Ebene erhält man mit Hilfe der Hesseschen Normalenform: Der Punktsoll auf der -Achse liegen. Es gilt also und somit ist nur die -Koordinate zu bestimmen: .
Da der Abstandbetragen soll, ist folgende Gleichung zu lösen: Also:Die Koordinaten der gesuchten Punkte sindund .
Lösung zu Aufgabe 8
-
Das Experiment hat genau zwei Ausgänge:
(1) Rot (mit der Trefferwahrscheinlichkeit
)
(2) Nicht Rot.Da die Wahrscheinlichkeit für Rot bei jeder Durchführung des Experiments gleich bleibt und die Ereignisse unabhängig voneinander sind, ist die Zufallsgröße
binomialverteilt. -
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens dreimal Rot angezeigt wird, wird über die Gegenwahrscheinlichkeit, höchstens zweimal wird Rot angezeigt, bestimmt. Die Wahrscheinlichkeit für die genaue Trefferanzahl wird der Tabelle entnommen. Die Formel für die Binomialverteilung kann hier nicht angewandt werden, da die Anzahl
der Durchführungen nicht bekannt ist. -
Der Erwartungswert
einer binomialverteilten Zufallsvariable berechnet sich als Produkt der Anzahl an Durchführungen und der Wahrscheinlichkeit für einen Treffer Für die angegebenen Werte gilt:In jedem der Fälle ist der Erwartungswert ganzzahlig. Bei ganzzahligem Erwartungswert nimmt eine Binomialverteilung ihr Maximum beim Erwartungswert an. Der Maximalwert der der Tabelle zugrunde liegenden Verteilung vonwird bei angenommen, also dem Erwartungswert für . Somit liegt der Tabelle ein Stichprobenumfang von zugrunde.
Lösung zu Aufgabe 9
Ein Ausdruck der Form
Der Geradenabschnitt rotiert im Intervall