Abi Baden-Württemberg 2014 Wahlteil B1

Aufgabe

Aufgabe B 1.1

Gegeben sind die Punkte , , und .
Das Quadrat ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze .

1. Die Seitenfläche liegt in der Ebene .
   Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von .
   Berechnen Sie den Winkel, der von der Seitenfläche und der Grundfläche der Pyramide eingeschlossen wird.
   Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks .
   (4 VP)
2. Betrachtet werden nun Quader, die jeweils vier Eckpunkte auf den Pyramidenkanten und vier Eckpunkte in der Grundfläche der Pyramide haben.
   Einer dieser Quader hat den Eckpunkt .
   Berechnen Sie sein Volumen.
   Bei einem anderen dieser Quader handelt es sich um einen Würfel.
   Welche Koordinaten hat dessen Eckpunkt auf der Kante ?
   (4 VP)

Aufgabe B 1.2

In einem Gefäß G1 sind schwarze und weiße Kugeln.
In einem Gefäß G2 sind schwarze und weiße Kugeln.

1. Aus Gefäß G1 wird Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen.
   Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens Mal eine schwarze Kugel gezogen wird.
   Aus Gefäß G2 wird Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen.
   Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau schwarze Kugeln gezogen werden, und zwar bei direkt aufeinanderfolgenden Zügen.

   (4 VP)

2. Nun werden aus G1 zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und in das Gefäß G2 gelegt. Anschließend wird eine Kugel aus G2 gezogen.
   Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Kugel schwarz?

   (3 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe B 1.1

1. Koordinatengleichung der Ebene

   Der Ansatz für die Koordinatengleichung von lautet

   wobei , und die Koordinaten eines Normalenvektors von sind. Ein Normalenvektor lässt sich beispielsweise als Kreuzprodukt von zwei Spannvektoren der Ebene bestimmen:
   Da auch jeder vielfache Vektor senkrecht auf die Ebene steht, wird der folgende Vektor als Normalenvektor der Ebene verwendet:
   Der Ansatz für die Koordinatengleichung von ist gegeben durch:
   Den Wert des Parameters erhält man zum Beispiel, indem man die Koordinaten des Punktes einsetzt:
   Eine Koordinatengleichung der Ebene ist:

   Winkel zwischen Grundfläche und Ebene

   Die Grundfläche der Pyramide liegt in der -Ebene, weil die -Koordinaten aller Eckpunkte und des Quadrats den Wert Null haben. Ein Normalenvektor der -Ebene ist:

   Der Winkel zwischen den Flächen entspricht dem Winkel zwischen dem Normalenvektor und dem Normalenvektor .
   Die Berechnung des Winkels erfolgt mittels der Kosinusformel des Skalarprodukts
   Der Winkel, der von der Seitenfläche und der Grundfläche eingeschlossen wird, beträgt etwa .

   Flächeninhalt des Dreiecks

   Das Dreieck ist gleichschenklig mit der Basisseite , weil die Punkte und spiegelsymmetrisch zur -Achse liegen und auf der Mittelsenkrechten von liegt. Die Höhe auf ist Teil dieser Mittelsenkrechten. Der Höhenfußpunkt hat die Koordinaten und das Dreieck den Flächeninhalt

   Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von .

2. Berechnung des Volumens

   Mit Hilfe einer Skizze wird deutlich, dass der Punkt ein Eckpunkt des Quaders ist, der in der Grundfläche der Pyramide liegt und der Mittelpunkt der Strecke ist.

   Aufgrund der Symmetrie der geraden Pyramide handelt es sich bei der Grundfläche der Pyramide um ein Quadrat.
   Da sowohl die - als auch die -Koordinate des Punktes betragen, gilt für die Seitenlänge des Quadrats
   
   Nun ist noch die Höhe des Quaders zu bestimmen.
   Diese entspricht der -Koordinate des Punktes , der senkrecht über auf der Kante bzw. in der Ebene aus Aufgabenteil a liegt. Da die - und -Koordinaten von denen von entsprechen, werden diese in die Koordinatengleichung der Ebene eingesetzt, um zu bestimmen:
   
   Die Höhe des Quaders ist somit Längeneinheiten.
   Für das Volumen gilt:
   
   
   Das Volumen des Quaders beträgt .

   Alternativer Weg
   Der Punkt liegt auf der Geraden durch und :

   
   Einsetzen von ergibt beziehungweise .

   Koordinaten des Eckpunktes

   Der Wert der ersten beiden Koordinaten des Eckpunktes auf der Seite beträgt jeweils die Hälfte einer Seitenlänge der Grundfläche des Quaders. Die -Koordinate entspricht der Höhe des Quaders. Bei einem Würfel sind die Höhe und die Seitenlängen der Grundfläche gleich. Gesucht ist also ein Punkt auf der Kante beziehungsweise in der Ebene , dessen - und -Koordinate gleich sind und dessen -Koordinate doppelt so groß ist. Der Punkt hat also die Koordinaten:

   Setzt man nun diese Koordinaten in die Koordinatengleichung der Ebene ein, so erhält man den Wert für :
   Der gesuchte Eckpunkt des Würfels lautet somit .

   Alternativer Weg
   Der Punkt liegt auf der Geraden durch und :

   Einsetzen von ergibt beziehungweise .

Lösung zu Aufgabe B 1.2

1. Wahrscheinlichkeit für mindestens Mal eine schwarze Kugel

   Bei dem Experiment handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment, da es zwei mögliche Ergebnisse gibt (Treffer und Niete), welche in jedem Versuchsdurchlauf die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist hier die Wahrscheinlichkeit dafür, eine schwarze Kugel aus dem Gefäß G1 zu ziehen und beträgt:

   Die Zufallsvariable ist die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln mit und . Für die Wahrscheinlichkeit für mindestens schwarze Kugeln gilt
   Die Wahrscheinlichkeit, bei -maligem Ziehen mit Zurücklegen aus Gefäß G1 mindestens schwarze Kugeln zu ziehen, beträgt ungefähr .

   Wahrscheinlichkeit für genau aufeinanderfolgende schwarze Kugeln

   Die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel aus dem Gefäß G2 zu ziehen beträgt

   Legt man die zwei Kugeln fest, die als einzige beim -maligen Ziehen mit Zurücklegen schwarz sein sollen, so müssen alle anderen sechs Kugeln weiß sein. Die Wahrscheinlichkeit dafür lautet dann:
   Es gibt insgesamt Möglichkeiten zwei schwarze Kugeln hintereinander unter Kugeln anzuordnen. Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
   Die Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr .

2. Zunächst werden die unterschiedlichen Fälle für zwei Kugeln aus G1 und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten betrachtet. Die Zufallsvariable beschreibt hier die Anzahl der schwarzen Kugeln unter den Kugeln, die aus G1 genommen und in G2 gelegt wurden.
   Dabei kann ein Baumdiagramm hilfreich sein:

   
   Für die Wahrscheinlichkeiten, dass zwei, eine beziehungsweise keine schwarze Kugel aus G1 in G2 gelegt wurden, gilt also:
   
   Nun werden für die unterschiedlichen Fälle die bedingten Wahrscheinlichkeiten für das Ereignis , dass die aus G2 gezogene Kugel schwarz ist, angegeben:
   • Bei zwei schwarzen Kugeln aus G1 beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel aus G2 zu ziehen:
   • Bei einer schwarzen und einer weißen Kugel aus G1 beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel aus G2 zu ziehen:
   • Bei zwei weißen Kugeln aus G1 beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel aus G2 zu ziehen:
     
     Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel aus G2 zu ziehen:
     
     Die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel aus G2 zu ziehen, beträgt .

   Alternativer Weg
   Etwas weniger rechnen muss man, wenn man direkt die gezogene Kugel betrachtet und zunächst unterscheidet, aus welchem Gefäß die Kugel ursprünglich stammt. Hierbei sei das Ereignis, dass die Kugel ursprünglich aus dem Gefäß G1 stammt. Das ist für zwei der zwölf Kugeln in G2 der Fall.
   Also gilt für die Wahrscheinlichkeit von :

   Stammt die Kugel aus G1, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie schwarz ist, gleich
   War die Kugel von Anfang an in G2, so beträgt diese Wahrscheinlichkeit:
   Die Wahrscheinlichkeit, dass die aus G2 gezogene Kugel schwarz ist, beträgt also insgesamt:
   Die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel aus G2 zu ziehen, beträgt .