Abi Baden-Württemberg 2014 Wahlteil A2

Aufgabe

Aufgabe A 2.1

Die Anzahl ankommender Fahrzeuge vor einem Grenzübergang soll modelliert werden. Dabei wird die momentane Ankunftsrate beschrieben durch die Funktion mit

1. Skizzieren Sie den Graphen von . Wann ist die momentane Ankunftsrate maximal? Bestimmen Sie die Anzahl der Fahrzeuge, die in den ersten Stunden ankommen.
   (4 VP)
2. Am Grenzübergang werden die Fahrzeuge möglichst schnell abgefertigt, jedoch ist die momentane Abfertigungsrate durch Fahrzeuge pro Stunde begrenzt. Wann beginnen sich die Fahrzeuge vor dem Grenzübergang zu stauen? Wie viele Fahrzeuge stauen sich maximal vor dem Grenzübergang? Welches Ergebnis erhielte man, wenn die momentane Abfertigungsrate Stunden nach Beobachtungsbeginn auf konstant Fahrzeuge pro Stunde erhöht würde?
   (6 VP)

Aufgabe A 2.2

Für jedes ist eine Funktion gegeben durch

1. besitzt einen Extrempunkt. Bestimmen Sie dessen Koordinaten.
   (2 VP)
2. Durch welche Punkte der -Achse verläuft kein Graph ?
   (3 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe A 2.1

1. Skizze des Graphen von

   Mithilfe eines GTR kann der Graph von skizziert werden.

   Zeitpunkt der maximalen momentanen Ankunftsrate

   Laut Aufgabenstellung beschreibt genau die momentane Ankunftsrate. Der Zeitpunkt der maximalen momentanen Ankunftsrate entspricht der Stelle, an welcher der Graph von einen Hochpunkt besitzt. Diese kann mithilfe eines GTR direkt ausgerechnet werden und es gilt: . Die momentane Ankunftsrate wird also nach Stunden maximal sein.

   Anzahl der Fahrzeuge, die in den ersten Stunden ankommen.

   Da die Funktion die Ankunftsrate modelliert, bestimmt das Integral im Zeitraum von bis über die Funktion die Anzahl der ankommenden Fahrzeuge. Es ist folgendes Integral zu berechnen:

   Der Wert dieses Integrals lässt sich mithilfe eines GTR bestimmen:
   Die Anzahl der Fahrzeuge, die in den ersten Stunden ankommen, liegt bei etwa .

2. Zeitlicher Beginn des Staus

   Die Fahrzeuge beginnen sich zu stauen, wenn die momentane Ankunftsrate Fahrzeuge übersteigt. In der Skizze lässt sich erkennen, dass also der Zeitpunkt gesucht ist, bei dem der Wert von zum ersten Mal die überschreitet.
   Gesucht sind die Schnittstellen des Graphen von mit der Gerade .

   Somit ist folgende Gleichung zu lösen:
   Mithilfe eines GTR können die Lösungen dieser Gleichung bestimmt werden:
   Da nach dem Beginn des Staus gefragt ist, muss der kleinere Wert gewählt werden. Nach ungefähr Stunden beginnen sich die Fahrzeuge zu stauen.

   Maximale Anzahl der sich stauenden Fahrzeuge

   Sobald sich die Fahrzeuge stauen, ist die Änderungsrate der Anzahl der sich stauenden Fahrzeuge gleich der Differenz der ankommenden und der abgefertigten Fahrzeuge, also

   Bis zum Zeitpunkt aus der vorherigen Teilaufgabe ist dieser Term positiv und der Stau nimmt zu. Ab dem Zeitpunkt ist die Änderungsrate negativ und der Stau nimmt wieder ab. Die maximale Anzahl der Fahrzeuge staut sich also zum Zeitpunkt und wird durch folgendes Integral über die Änderungsrate beschrieben:
   Ein GTR liefert das Ergebnis
   Es stauen sich also maximal ungefähr Fahrzeuge.

   Änderung der Abfertigungsrate

   Es ist die maximale Anzahl der Fahrzeuge vor dem Grenzübergang gesucht, wenn man nach Stunden die Abfertigungsrate auf Fahrzeuge erhöht. Ab dem Zeitpunkt beträgt also die Änderungsrate der Anzahl der sich stauenden Fahrzeuge

   
   Die Anzahl der sich stauenden Fahrzeuge zu einem beliebigen Zeitpunkt beträgt also:
   Dieser Term wird maximal, wenn die Änderungsrate bei das Vorzeichen wechselt. Es ist also folgende Gleichung mithilfe eines GTR für zu lösen:
   Ein GTR liefert die maximale Anzahl der gestauten Fahrzeuge vor dem Grenzübergang:
   Wenn die Abfertigungsrate nach Stunden auf erhöht wird, befinden sich maximal ungefähr Fahrzeuge vor dem Grenzübergang.

Lösung zu Aufgabe A 2.2

1. Koordinaten des Extrempunktes

   Die Koordinaten und die Art eines Extrempunktes lassen sich mithilfe der ersten beiden Ableitungen bestimmen. Der Parameter wird hierbei wie eine konstante Zahl behandelt. Damit ergeben sich die Ableitungen:

   Nun wird die erste Ableitung gleich gesetzt, um mögliche Extremstellen ausfindig zu machen:
   Wegen gilt
   In der Aufgabenstellung ist vorgegeben, dass gilt
   Deshalb wird nur die Lösung weiter betrachtet. Um herauszufinden, ob ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt vorliegt, wird die zweite Ableitung benutzt:
   Damit hat der Graph der Funktion an der Stelle einen Hochpunkt. Die - Koordinate des Hochpunktes, ist der Funktionswert von an der Stelle :
   Der Hochpunkt des Graphen der Funktion besitzt die Koordinaten .

   Alternativer Weg
   Ebenso könnte man diese Aufgabe graphisch lösen, da die Extrempunkte des Graphen der Kosinusfunktion bekannt sind. Der einzige Extrempunkt des Kosinus im Intervall ist der Hochpunkt bei .
   Wegen findet keine Spiegelung des Graphen an der -Achse statt. Durch den konstanten Faktor vor der Kosinusfunktion wird der Graph der Funktion um den Faktor in -Richtung gestaucht oder gestreckt. Der Hochpunkt bleibt nach Streckung beziehungweise Stauchung des Graphen ein Hochpunkt. Das bedeutet, dass sich die -Koordinate des Hochpunktes um den Faktor ändert. Der Hochpunkt ist nun .
   Durch den Term wird der gestreckte beziehungweise gestauchte Graph um nach unten verschoben. Mit dem Graphen der Funktion wird auch der Hochpunkt um nach unten verschoben, sodass seine Koordinaten nun lauten.

2. Der Schnittpunkt mit der -Achse hat die Koordinaten , wobei

   Zu untersuchen ist, welche Werte der Term annehmen kann. Hierzu wird untersucht, für welche Werte von sich die folgende Gleichung lösen lässt:
   Die Mitternachtsformel liefert:
   Ist der Term unter der Wurzel, die Diskriminante, nichtnegativ, gibt es also immer eine positive Lösung. Keine Lösung gibt es, wenn der Term unter der Wurzel negativ ist. In diesem Fall muss gelten:
   Somit verläuft durch alle Punkte mit kein Graph .

   Alternativer Weg
   Welche Werte der Term annehmen kann, lässt sich auch bestimmen, indem man die Funktion auf Extrempunkte untersucht.

   Das Maximum von bei erhält man dann mithilfe der ersten und zweiten Ableitung oder aber indem man in die Scheitelpunktform bringt: