Abi Baden-Württemberg 2014 Wahlteil A1

Aufgabe

Aufgabe A 1.1

Gegeben ist die Funktion mit . Ihr Graph ist .

1. besitzt einen Extrempunkt und einen Wendepunkt. Geben Sie deren Koordinaten an. Geben Sie eine Gleichung der Asymptote von an. Skizzieren Sie .
   (4 VP)
2. Für jedes sind , und die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie einen Wert für so, dass dieses Dreieck den Flächeninhalt hat. Für welchen Wert von ist das Dreieck gleichschenklig?
   (4 VP)
3. Auf der -Achse gibt es Intervalle der Länge , auf denen die Funktion den Mittelwert besitzt. Bestimmen Sie die Grenzen eines solchen Intervalls.
   (3 VP)

Aufgabe A 1.2

Gegeben ist für jedes eine Funktion durch

Lösung

Lösung zu Aufgabe A 1.1

1. Zunächst werden die ersten drei Ableitungen der Funktion bestimmt:

   Koordinaten des Extrempunkts

   Kandidaten für die Extremstellen sind die Nullstellen der ersten Ableitung. Um diese zu bestimmen wird der Satz vom Nullprodukt ausgenutzt:

   Damit ist eine mögliche Extremstelle . Um herauszufinden, ob sich an der Stelle ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt befindet, wird die zweite Ableitung benutzt:
   Da die Exponentialfunktion immer positiv ist, muss der Term wegen des Faktors negativ sein. Also liegt bei ein Hochpunkt vor.
   Zur Bestimmung der -Koordinate des Hochpunktes wird in den Funktionsterm eingesetzt:
   Der Graph von besitzt einen Hochpunkt bei ungefähr .

   Alternativer Weg
   Anstelle die zweite Ableitung zu benutzen, um die Art des Extremumpunkts zu bestimmen, kann auch die erste Ableitung an der Stelle auf Vorzeichenwechsel überprüft werden. Da an der Stelle das Vorzeichen des Faktors von zu wechselt und der Faktor positiv ist, wechselt das Vorzeichen der ersten Ableitung an der Stelle von zu . Es handelt sich somit um einen Hochpunkt.

   Koordinaten des Wendepunkts

   Zunächst wird die Nullstelle der zweiten Ableitung bestimmt. Mithilfe der dritten Ableitung wird anschließend überprüft, ob es sich tatsächlich um einen Wendepunkt handelt.

   Die zweite Ableitung hat nach dem Satz vom Nullprodukt den Wert Null, wenn mindestens einer der beiden Faktoren Null ist, also wenn
   Mithilfe der dritten Ableitung wird überprüft, ob an dieser Stelle tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt:
   Da die dritte Ableitung von Null verschieden ist, befindet sich an der Stelle ein Wendepunkt. \needspace{4\baselineskip}
   Die -Koordinate des Wendepunktes ist der Funktionswert von an der Stelle :
   Der Wendepunkt besitzt ungefähr die Koordinaten .

   Gleichung der Asymptote

   Zur Bestimmung der Gleichung der Asymptoten wird das Verhalten im Unendlichen betrachtet. Die Exponentialfunktion wächst schneller für als jede lineare Funktion. Für geht die Exponentialfunktion schneller gegen Null als das Wachstum jeder Potenzfunktion. Es gelten:

   Somit ist die -Achse eine waagrechte Asymptote des Graphen von .

   Skizze

   Im folgenden Schaubild ist der Graph der Funktion skizziert.

2. Bestimmung des Wertes von , damit das Dreieck Flächeninhalt hat*

   Zuallererst ist es sinnvoll, eine Skizze des Sachverhalts anzufertigen. Dafür kann man den Verlauf des Graphen der Funktion aus der vorherigen Aufgabenstellung verwenden und dort die gegebenen Punkte , und einzeichnen.

   Man erkennt, dass die Punkte ein rechtwinkliges Dreieck bilden, wobei auf dem Graphen der Funktion liegt. Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieckes kann mithilfe der Formel
   bestimmt werden, wobei und die Längen der Katheten des rechtwinkligen Dreieck sind. In diesem Fall hat die Kathete die Länge und entspricht der -Koordinate von , also . Es muss also gelten:
   Dieser Flächeninhalt soll den Wert annehmen. Es soll also gelten:
   Mithilfe eines GTR und der Voraussetzung, dass sein soll, ergibt sich als eine mögliche Lösung .
   Eine weitere mögliche Lösung ist .

   Wert von , für den das Dreieck gleichschenklig ist

   Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn es zwei gleich lange Seiten hat. Da das Dreieck rechtwinklig ist, müssen es die beiden Katheten sein. Diese haben die Längen und . Gesucht sind die Lösungen der Gleichung:

   Mithilfe eines GTR erhält man die Lösungen
   Die Lösung ist nicht zulässig, da in der Aufgabenstellung gefordert ist. Somit ist der Wert von , für den das Dreieck gleichschenklig ist .

   Alternativer Weg
   Diese Gleichung lässt sich auch ohne GTR lösen:

   Wegen muss gelten:
   Das Dreieck wird also für gleichschenklig.

3. Alle Intervalle der Länge lassen sich allgemein darstellen durch

   Der Mittelwert einer Funktion in einem Intervall lässt sich bestimmen durch Berechnung von
   Für obiges Intervall der Länge sieht das Mittelwertintegral also wie folgt aus:
   Dieses Integral soll den Wert annehmen. Das heißt, es ist folgende Gleichung zu lösen:
   Der GTR liefert unter anderem die Lösung . Damit ist eines dieser gesuchten Intervalle.

   Eine weitere Lösung ist mit dem Intervall

Lösung zu Aufgabe A 1.2

Skizze

Der Abstand zwischen zwei Punkten kann mithilfe des Satzes von Pythagoras bestimmt werden. Zur Veranschaulichung wird zunächst eine Skizze des Sachverhalts angefertigt.

Ableitungen

Zunächst werden die ersten beiden Ableitungen der Funktion bestimmt, der Parameter wird hierbei wie eine Konstante behandelt:

Koordinaten der Extrempunkte

Mögliche Extrempunkte sind die Nullstellen der ersten Ableitung, also

Um herauszufinden, ob bei beziehungweise ein Hoch- oder ein Tiefpunkt vorliegt, wird die zweite Ableitung benutzt. Wegen

Die -Werte der Extrempunkte werden berechnet, indem und in den Funktionsterm eingesetzt werden. Es gilt:

Abstand der Extrempunkte

Mithilfe der obigen Skizze ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras für den Abstand :