Abi Baden-Württemberg 2013 Wahlteil B2

Aufgabe

Aufgabe B 2.1

In einem würfelförmigen Ausstellungsraum mit der Kantenlänge Meter ist ein dreieckiges Segeltuch aufgespannt.

Es ist im Punkt sowie in den Kantenmitten und befestigt (siehe Abbildung).

Es wird angenommen, dass das Segeltuch nicht durchhängt.

In einem Koordinatensystem stellen die Punkte , und die entsprechenden Ecken des Raumes dar.

1. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene , in der das Segeltuch liegt.
   Zeigen Sie, dass das Segeltuch die Form eines gleichschenkligen Dreiecks hat.
   Berechnen Sie den Flächeninhalt des Segeltuchs.
   Welchen Abstand hat das Segeltuch von der Ecke ?

   Teilergebnis:

   (6 VP)

2. Auf der Diagonale steht eine Meter hohe Stange senkrecht auf dem Boden. Das obere Ende der Stange berührt das Segeltuch.
   In welchem Punkt befindet sich das untere Ende der Stange?

   (3 VP)

Aufgabe B 2.2

Auf zwei Glücksrädern befinden sich jeweils sechs gleich große Felder. Bei jedem Spiel werden die Räder einmal in Drehung versetzt. Sie laufen dann unabhängig voneinander aus und bleiben so stehen, dass von jedem Rad genau ein Feld im Rahmen sichtbar ist.

1. Zunächst werden die Räder als ideal angenommen.

   Bei einem Einsatz von sind folgende Auszahlungen vorgesehen:

   Weisen Sie nach, dass das Spiel fair ist.
   Nun möchte der Veranstalter auf lange Sicht pro Spiel Cent Gewinn erzielen. Dazu soll nur der Auszahlungsbetrag für "Diamant - Diamant" geändert werden.

   Berechnen Sie diesen neuen Auszahlungsbetrag.

   (3 VP)

2. Es besteht der Verdacht, dass die Wahrscheinlichkeit für "Stern - Stern" geringer als ist. Daher soll ein Test mit Spielen durchgeführt werden.

   Formulieren Sie die Entscheidungsregel für die Nullhypothese , wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit höchstens betragen soll.

   (3 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe B 2.1

1. Die fehlenden Koordinaten der Punkte in der Abbildung lauten:

   Koordinatengleichung der Ebene

   Der Ansatz für eine Koordinatengleichung der Ebene ist

   wobei , und die Koordinaten eines Normalenvektors von sind. Ein Normalenvektor lässt sich zum Beispiel als Kreuzprodukt von zwei Spannvektoren bestimmen:
   Da jedes Vielfache dieses Vektors als Normalenvektor benutzt werden kann, wird im Folgenden der Vektor
   verwendet.

   Der Ansatz für Koordinatengleichung lautet nun:

   Den Wert des Parameters erhält man durch Einsetzen des Punktes :
   Eine Koordinatengleichung der Ebene lautet:

   Gleichschenkligkeit des Dreiecks

   Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei der drei Seiten gleich lang. Dies wird nun geprüft:

   Die Seiten und sind gleich lang, somit ist das Dreieck gleichschenklig mit der Basisseite .

   Flächeninhalt des Segeltuchs

   Im Folgenden bezeichnet den Mittelpunkt der Strecke . Dieser ist im gleichschenkligen Dreieck der Höhenfußpunkt und hat die Koordinaten

   Für den Flächeninhalt des Segeltuchs gilt
   Der Flächeninhalt des Segeltuchs beträgt .

   Abstand des Segeltuchs von der Ecke

   Der Abstand des Tuchs von der Ecke entspricht dem Abstand der Ebene zum Punkt . Dieser lässt sich über die Hessesche Normalenform berechnen. Es gilt:

   Der Abstand des Tuchs zur Ecke beträgt etwa .

2. Zunächst wird eine Gleichung der Gerade durch die Punkte und bestimmt:

   Das untere Ende der Stange liegt nun so auf dieser Geraden, dass das obere Ende, das sich Einheiten darüber befindet, auf der Ebene liegt. Man kann also einfach die Koordinaten des oberen Endes, , in die Koordinatengleichung von einsetzen.
   Nun wird in die Gleichung der Geraden eingesetzt und damit der Punkt, an dem sich das untere Ende der Stange befindet, berechnet:
   Das untere Ende der Stange liegt im Punkt .

Lösung zu Aufgabe B 2.2

1. Nachweis eines fairen Spiels

   Damit das Spiel fair ist, muss der erwartete Gewinn gleich dem Einsatz sein. Im Folgenden bezeichnet die Zufallsvariable die Auszahlung an den Spieler in Euro. Es muss also gelten

   Nun werden zunächst die Wahrscheinlichkeiten für die angegebenen Auszahlungsmöglichkeiten berechnet. Dabei wird die Voraussetzung benutzt, dass die Drehungen unabhängig voneinander sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler 2 Euro ausbezahlt bekommt, beträgt:
   die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler 0,85 Euro ausbezahlt bekommt:
   und die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler 0,20 Euro ausbezahlt bekommt:
   Es gilt für den Erwartungswert von
   Die erwartete Auszahlung ist genauso hoch wie der Einsatz: Das Spiel ist fair.

   Änderung des Auszahlungsbetrags für "Diamant-Diamant"

   Der Veranstalter gewinnt genau dann Cent bei jedem Spiel, wenn der Erwartungswert beträgt. Der gesuchte Auszahlungsbetrag wird mit bezeichnet. Es muss also gelten

   Der neue Auszahlungsbetrag für die Kombination "Diamant-Diamant"muss also Cent betragen.

2. Die Nullhypothese, das Signifikanzniveau sowie der Stichprobenumfang lauten:

   Es handelt sich um einen linksseitigen Hypothesentest mit dem Ablehnungsbereich Die Zufallsvariable gibt an, wie oft das Ereignis "Stern-Stern"eintritt. Gesucht wird das größtmögliche , sodass für die binomialverteilte Zufallsvariable mit Trefferwahrscheinlichkeit und Versuchen gilt:
   Mit dem GTR erhält man:
   Damit gilt für den Annahmebereich
   sowie für den Ablehnungsbereich
   Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn bei 500 Spielen höchstens 7 mal "Stern-Stern"erscheint, andernfalls wird die Nullhypothese nicht abgelehnt.