Abi Baden-Württemberg 2013 Wahlteil B1

Aufgabe

Aufgabe B 1.1

Ein Würfel besitzt die Eckpunkte , , und . Gegeben ist außerdem die Ebene .

1. Stellen Sie den Würfel und die Ebene in einem Koordinatensystem dar.
   Berechnen Sie den Winkel, den die Ebene mit der -Ebene einschließt.
   Bestimmen Sie den Abstand von zur -Achse.
   (5 VP)
2. Die Ebene gehört zu einer Ebenenschar. Diese Schar ist gegeben durch
   Welche Lage haben die Ebenen der Schar zueinander?
   Für welche Werte von hat der Punkt den Abstand von der Ebene ?
   Für welche Werte von hat die Ebene gemeinsame Punkte mit dem Würfel?
   (6 VP)

Aufgabe B 1.2

Bei einer Lotterie sind der Lose Gewinnlose.
Jemand kauft drei Lose.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darunter mindestens zwei Gewinnlose?
Wie viele Lose hätte man mindestens kaufen müssen, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Gewinnlose über liegt?

Lösung

Lösung zu Aufgabe B 1.1

1. Darstellung im Koordinatensystem

   Für die Darstellung der Ebene in einem Koordinatensystem werden die Spurpunkte berechnet. Dies sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. Hierfür werden je zwei der drei Koordinaten Null gesetzt und der Wert der dritten Koordinate ermittelt. Da die -Koordinate in der Ebenengleichung nicht vorhanden ist, ist die Ebene parallel zur -Achse.

   Schnittpunkt mit der -Achse:

   Schnittpunkt mit der -Achse:
   Der Würfel sowie die Ebene lassen sich nun wie folgt darstellen.

   Winkel zwischen Ebene und der -Ebene

   Der Winkel , den zwei Ebenen einschließen, entspricht dem Winkel, der von den beiden Normalenvektoren der Ebenen eingeschlossen wird.
   Der Normalenvektor der Ebene lässt sich direkt ablesen und lautet

   Der Normalenvektor der -Ebene ist gegeben durch
   Nun lässt sich der Winkel zwischen den beiden Vektoren wie folgt berechnen
   Der Winkel zwischen der Ebene und der -Ebene beträgt näherungsweise .

   Abstand von zur -Achse

   Schneiden sich eine Gerade und eine Ebene nicht, so ist jeder Punkt auf der Geraden gleich weit von der Ebene entfernt. Man wählt nun also einen beliebigen Punkt auf der -Achse, beispielsweise und berechnet den Abstand von der Ebene zum Punkt über folgende Formel

   Der Abstand der Ebene zur -Achse beträgt etwa .

2. Laut Aufgabenstellung gehört die Ebene gehört zu einer Ebenenschar, die gegeben ist durch:

   Lage der Ebenen der Schar

   Da alle Ebenen der Schar den gleichen Normalenvektor

   haben, liegen die Ebenen für verschiedene Werte von parallel zueinander.

   Ebenen mit Abstand zu

   Der Abstand der Ebene zum Punkt kann bestimmt werden durch

   Gesucht ist nun diejenige Ebene , welche den Abstand zum Punkt besitzt, also:
   Damit gilt:
   Somit haben die folgenden beiden Ebenen den Abstand vom Punkt :

   Gemeinsame Punkte von mit dem Würfel

   Die Spurpunkte der Ebene für sind

   Einen Spurpunkt mit der -Achse besitzt nur die Ebene . Mit und liegt auch die Verbindungsstrecke der beiden Punkte in .
   Für gibt es jedoch keine gemeinsamen Punkte mit dem Würfel. Da der Punkt nur dann ein gemeinsamer Punkt des Würfels und der Ebene ist, wenn
   gilt, gibt es nur für gemeinsame Punkte von Würfel und Ebene .

Lösung zu Aufgabe B 1.2

Im Nachfolgenden bezeichnet die Anzahl der gezogenen Gewinnlose. Bei dem Experiment handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Gewinnlose

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei drei Losen mindestens zwei Gewinnlose dabei sind, ist:

Mindestanzahl der Lose

Um die Mindestanzahl der Lose zu bestimmen, damit die Wahrscheinlichkeit für zwei Gewinnlose mindestens beträgt, wird die Wahrscheinlichkeit als Funktion von aufgefasst. Es gilt nach wie vor und . Gesucht wird das somit kleinste , für das gilt: