Abi Baden-Württemberg 2013 Wahlteil A2

Aufgabe

Aufgabe A 1.1

Ein zunächst leerer Wassertank einer Gärtnerei wird von Regenwasser gespeist. Nach Beginn eines Regens wird die momentane Zuflussrate des Wassers durch die Funktion mit

1. Bestimmen Sie die maximale momentane Zuflussrate. In welchem Zeitraum ist diese Zuflussrate größer als Liter pro Stunde?
   Zu welchem Zeitpunkt nimmt die momentane Zuflussrate am stärksten ab?
   (4 VP)
2. Wie viel Wasser befindet sich drei Stunden nach Regenbeginn im Tank? Zu welchem Zeitpunkt sind \num{5000} Liter im Tank?
   (3 VP)
3. Zur Bewässerung von Gewächshäusern wird nach Stunden begonnen, Wasser aus dem Tank zu entnehmen. Daher wird die momentane Änderungsrate des Wasservolumens im Tank ab diesem Zeitpunkt durch die Funktion mit
   beschrieben ( in Stunden seit Regenbeginn, in Liter pro Stunde).
   Wie viel Wasser wird in den ersten Stunden nach Regenbeginn entnommen?
   Ab welchem Zeitpunkt nimmt die Wassermenge im Tank ab?
   Bestimmen Sie die maximale Wassermenge im Tank.
   (4 VP)

Aufgabe A 1.2

Gegeben ist die Funktion mit für .

Der Graph von begrenzt mit der -Achse eine Fläche mit Inhalt .

Berechnen Sie exakt.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades schneidet die \mbox{-Achse} bei und und schließt mit der -Achse eine Fläche ein, deren Inhalt halb so groß wie ist.

Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von .

Lösung

Lösung zu Aufgabe A 1.1

1. Maximale momentane Zuflussrate

   Gesucht ist der Hochpunkt des Graphen von im Intervall . Im folgenden Schaubild ist der Graph der Funktion abgebildet.

   Mithilfe eines GTR erhält man als den Zeitpunkt mit der maximalen Zuflussrate. Diese beträgt dann 2500 Liter pro Stunde.

   Alternativer Weg 1
   Die maximale Zuflussrate lässt sich auch ohne GTR berechnen. Dazu wird zunächst die erste Ableitung der Funktion bestimmt:

   Anschließend wird deren Nullstelle ermittelt:
   Zur Überprüfung, ob es sich tatsächlich um einen Extrempunkt des Graphen von handelt und von welcher Art er ist, wird das VZW-Kriterium genutzt:
   Da ein Vorzeichenwechsel von nach statt findet, befindet sich an der Stelle
   ein Hochpunkt.
   Jetzt muss nur noch der Funktionswert an dieser Stelle berechnet werden:

   Alternativer Weg 2
   Die Ermittlung der maximalen Zuflussrate ohne GTR vereinfacht sich mit der Substitution . Der Funktionsterm von wird dann zu:

   Quadratzahlen sind immer nicht-negativ, weshalb nie größer als ist. Dieser Wert wird für angenommen. Zurücksubstituiert bedeutet das:
   Da im Intervall liegt und die Randwerte und sind, beträgt die maximale Zuflussrate im Intervall gerade Liter pro Stunde.

   Momentane Zuflussrate größer als Liter pro Stunde

   Zur Berechnung des Zeitraums, in dem die Zuflussrate größer als Liter pro Stunde ist, werden die Zeitpunkte bestimmt, an denen die Zuflussrate genau Liter pro Stunde ist. Dies sind die Lösungen der Gleichung:

   Mithilfe eines GTR erhält man die beiden Lösungen und .
   
   Zwischen den beiden Zeitpunkten und liegt bei das Maximum mit Litern pro Stunde. Damit ist die Zuflussrate zwischen und größer als Liter pro Stunde. Davor und danach ist die Zuflussrate kleiner als Liter pro Stunde.
   Die momentane Zuflussrate ist von etwa Stunden bis etwa Stunden nach Beginn des Regens größer als Liter pro Stunde. Das entspricht einem Zeitraum von Minute 39 bis 2 Stunden 34 Minuten.

   Alternativer Weg
   Ohne GTR substituiert man wieder und erhält die Gleichung

   Rücksubstitution ergibt:

   Stärkste Abnahme der Zuflussrate

   Die stärkste Abnahme der Zuflussrate befindet sich dort, wo auf minimal wird. Sowohl die Ableitung

   als auch deren Minimalstelle auf dem Intervall können mithilfe eines GTR berechnet werden. Im folgenden Schaubild ist der Graph der Ableitungsfunktion dargestellt.

   Mithilfe eines GTR erhält man . Die Randwerte sind

   Beide sind größer als . Die momentane Zuflussrate nimmt etwa Stunden nach Regenbeginn am stärksten ab.

   Alternativer Weg 1
   Ohne GTR untersucht man die erste Ableitung von auf Extremstellen. Dazu wird die zweite Ableitung von gebildet:.

   Anschließend wird deren Nullstelle bestimmt:
   Die Überprüfung, dass es sich bei dieser möglichen Extremalstelle um ein Minimum handelt, kann wieder mit dem VZW-Kriterium erfolgen.

   Alternativer Weg 2
   Die Berechnung ohne GTR lässt sich mit der Substitution vereinfachen:

   An der Stelle wird der minimale Wert angenommen. Dieser Wert ist minimal , was für angenommen wird. Zurücksubstituiert ergibt das

2. Wassermenge im Tank drei Stunden nach Regenbeginn

   Die momentane Änderungsrate der Wassermenge wird durch beschrieben. Zum Zeitpunkt ist diese Wassermenge gleich . Also wird die Wassermenge nach drei Stunden durch das Integral von von bis beschrieben.
   Es gilt:

   
   Drei Stunden nach Beginn des Regens befinden sich also etwa Liter Wasser im Tank.

   Liter Wasser im Tank

   Gesucht ist der Zeitpunkt im Intervall , für den gilt:

   Dazu ermittelt man den Schnittpunkt der Geraden mit dem Graphen der Funktion mit
   
   Mithilfe eines GTR erhält man für die Schnittstelle des Graphen von mit der Geraden . Es befinden sich nach etwa Stunden Liter Wasser im Tank.

   Alternativer Weg
   Auch dieser Teil lässt sich ohne GTR lösen. Hierzu werden zunächst die Integrale im Funktionsterm von berechnet:

   Anschließend wird die Stelle ermittelt, an der den Wert annimmt:
   Durch Substitution erhält man die quadratische Gleichung
   Wegen des negativen Exponenten ist für positive stets kleiner als , und es kommen nur Lösungen mit in Frage. Somit muss nur betrachtet werden. Die Rücksubstitution ergibt:
   Es befinden sich nach etwa Stunden Liter Wasser im Tank.

3. Wasserentnahme in den ersten Stunden

   Vom Ende der dritten Stunde bis Ende der zwölften Stunde wird dem Tank Wasser entnommen, das sind insgesamt Stunden. Aus dem Funktionsterm von wird ersichtlich, dass konstant Liter pro Stunde entnommen werden. Die gesuchte Menge ist also

   In den ersten zwölf Stunden werden Liter Wasser aus dem Tank entnommen.

   Abnahme der Wassermenge im Tank

   Die Wassermenge im Tank nimmt zu, wenn die Änderungsrate positiv ist, und sie nimmt ab, wenn negativ ist.
   Gesucht ist also die Nullstelle von im Intervall , bei der das Vorzeichen von zu wechselt.
   Mithilfe eines GTR erhält man als Nullstelle im betrachteten Intervall.

   Somit fängt die Wassermenge im Tank etwa Stunden nach Regenbeginn an abzunehmen.

   Alternativer Weg
   Die gesuchte Nullstelle kann durch die Substitution auch ohne GTR gefunden werden:
   

   Die Mitternachtsformel liefert die Lösungen:
   Mit Hilfe von Funktionswerten zwischen und sowie größer als lässt sich eine Aussage über den Vorzeichenwechsel bei machen:
   Also wechselt an der Stelle das Vorzeichen von nach , und die Wassermenge im Tank fängt etwa Stunden nach Regenbeginn an abzunehmen.

   Maximale Wassermenge im Tank

   In der vorherigen Teilaufgabe wurde ermittelt, dass die Wassermenge bis zum Zeitpunkt zu- und danach abnimmt. Also befindet sich genau zum Zeitpunkt die maximale Wassermenge im Tank. Für die ersten drei Stunden kann das Ergebnis aus Teilaufgabe b) genutzt werden. Die Änderung der Wassermenge im Intervall muss dann noch addiert werden. Hierbei ist zu beachten, dass die Änderungsrate nach der dritten Stunde durch die Funktion beschrieben wird:

   Die maximale Wassermenge im Tank beträgt etwa 7842 Liter.

Lösung zu Aufgabe A 1.2

Flächeninhaltsberechnung

Es gilt . Im Intervall liegen keine weiteren Nullstellen von , denn besitzt die Periode . Das heißt, die nächste Nullstelle liegt außerhalb des Intervalls . Somit gilt für die Fläche , die der Graph von mit der -Achse einschließt:

Funktionsgleichung von

Da die Funktion ganzrational vom Grad ist, wird die folgende Funktionsgleichung angesetzt:

Alternativer Weg
Weil die Nullstellen und besitzt, folgt aus dem Nullstellenansatz