Videolösungen
Aufgabe
Aufgabe 1
Der Querschnitt eines
- An welchen Stellen verlaufen die Wände des Stollens am steilsten?
Welchen Winkel schließen die Wände an diesen Stellen mit der Horizontalen ein?
Nach einem Wassereinbruch steht das Wasser im Stollenhoch.
Wie viel Wasser befindet sich in dem Stollen?(6 VP) - Im Stollen soll in
Höhe eine Lampe aufgehängt werden.
Aus Sicherheitsgründen muss die Lampe mindestensvon den Wänden entfernt sein.
Überprüfen Sie, ob dieser Abstand eingehalten werden kann.(3 VP) - Ein würfelförmiger Behälter soll so in den Stollen gestellt werden, dass er auf einer seiner Seitenflächen steht.
Wie breit darf der Behälter höchstens sein?(3 VP)
Aufgabe 2
Für jedes
Für welche Werte von
Lösung
Lösung zu Aufgabe 1
-
Steilste Stellen der Wände des Stollens
Im folgenden Schaubild ist eine Skizze des Graphen abgebildet.
Die Funktionhat die Nullstellen und bei . Die Wand des Stollens schließt mit der -Achse ab. Die Funktion ist ganzrational und der Funktionsterm enthält nur Potenzen von mit geraden Exponenten. Der Graph der Funktion ist folglich symmetrisch zur -Achse. Die steilsten Stellen der Wände sind genau die Stellen, an denen der Graph der Funktion die betragsmäßig größte Steigung aufweist. Diese Stellen sind Wendestellen des Graphen von beziehungsweise Extremstellen der Funktion . Zunächst gilt für die ersten beiden Ableitungen von : Die Nullstellen vonsind die Lösungen der Gleichung: Die Ränder des Definitionsbereiches befinden sich bei:Weil der Funktionstermnur Potenzen von mit ungeraden Exponenten enthält, ist der Graph von punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Darum gilt: Also ist nur fürund zu überprüfen, an welchen Stellen der Betrag der Steigung am größten ist:
Die steilsten Stellen der Wände des Stollens liegen also beiund bei . Winkel zwischen Wand und Horizontale
Um den Winkel
zu bestimmen, den die Wand des Stollens an den steilsten Stellen mit der Horizontalen einschließt, wird der Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von an den schon bestimmten Stellen berechnet. Die Formel zur Berechnung des Steigungswinkels der Tangente durch lautet: Wegen der Symmetrie des Graphen vongenügt es, lediglich die Stelle
zu betrachten:Die Wände des Stollens schließen mit der Horizontalen an den beiden steilsten Stellen jeweils einen Winkel von ungefährein. Wassermenge im Stollen
Das Wasser steht im Stollen
hoch. Um die Wassermenge, die sich im Stollen befindet, zu bestimmen, ist zunächst der vom Wasser ausgefüllte Teildes Stollenquerschnitts zu berechnen. Dazu wird der Flächeninhalt der Gesamtfläche bestimmt, die der Graph von mit der -Achse einschließt. Von dieser Gesamtfläche wird der Inhalt der Teilfläche zwischen dem Graphen von und der Geraden abgezogen.
Für diese Berechnungen werden also die Nullstellen vonim Intervall benötigt. Sie liegen am Rand des Definitionsbereiches: Für die Gesamtfläche, die der Graph von mit der -Achse einschließt ergibt sich also Zur Berechnung der Teilflächezwischen dem Graphen von und der Geraden werden die Schnittstellen des Graphen von mit der Geraden im Intervall benötigt. Diese lassen sich mithilfe eines GTR bestimmen oder aber indem man die biquadratische Gleichung mithilfe der Substition löst: Da im Definitionsbereichgilt, kommt nur der kleinere Wert infrage. Somit erhält man die Schnittstellen: Damit lässt sich der Flächeninhalt der Teilflächeberechnen: Für den vom Wasser ausgefüllten Teildes Stollenquerschnitts ergibt sich nun:
Um nun die gesamte Wassermenge, die sich im Stollen befindet, zu bestimmen, muss diese Fläche mit der Länge des Stollens multipliziert werden. Für das Wasservolumen ergibt sich also: Damit befinden sich nach dem Wassereinbruch ungefährWasser im Stollen. -
Abstand der Lampe zu den Wänden
Die Lampe soll inHöhe aufgehängt werden und muss mindestens von den Wänden entfernt sein. Es wird überprüft, ob die Lampe in der Mitte des Stollens im Punkt aufgehängt werden kann.
Dafür wird mit Hilfe des Satz des Pythagoras eine Funktionaufgestellt, welche den Abstand von zu einem Punkt in Abhängigkeit von u angibt: Der minimale Abstand von der Lampe zu den Wänden ist nun das Minimum der Funktionim Intervall und wird mithilfe eines GTR ermittelt, wobei auch die Randwerte zu berücksichtigen sind: Es gelten:Der kleinste Abstand der Lampe zu den Wänden beträgt also.
Der geforderte Mindestabstand vonkann daher eingehalten werden. -
Würfelförmiger Behälter
Ein würfelförmiger Behälter, der in den Stollen gestellt wird, hat genau dann die größtmögliche Breite, wenn sein Querschnitt symmetrisch zur
-Achse ist und er dabei rechts und links die Wände des Stollens berührt.
Im folgenden Schaubild ist der Sachverhalt skizziert.Da es sich um einen würfelförmigen Behälter handelt, ist der Querschnitt dieses Behälters ein Quadrat, dessen eine Eckeist. Dann gilt für die Höhe des Behälters: Aus den genannten Symmetriegründen muss beim Lösen dieser Gleichung nur der Bereichbetrachtet werden. Dann ergibt sich mithilfe eines GTR: Nun ist noch zu beachten, dass die Breite des Behältersbeträgt. Deshalb kann der Behälter höchstens ca. breit sein.
Lösung zu Aufgabe 2
Nullstellen von
Zu bestimmen sind die Werte für
Betrachtet wird also die Anzahl der Lösungen der Gleichung
Eine weitere Nullstelle ist gegeben durch
Nun ist noch der Fall zu betrachten, dass die beiden Lösungen zusammenfallen:
Für alle