Videolösungen
Aufgabe
Aufgabe 1
Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion
Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion
Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion
Aufgabe 3
Lösen Sie die Gleichung
Aufgabe 4
Gegeben sind die Funktionen
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen wird.
Aufgabe 5
Eine Funktion
(1)
(2)
(3)
(4) Für
Beschreiben Sie für jede dieser vier Eigenschaften, welche Bedeutung sie für den Graphen von
Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf des Graphen.
Aufgabe 6
Die Gerade
Die Ebene
Bestimmen Sie den Schnittpunkt
Untersuchen Sie, ob
Aufgabe 7
Gegeben sind die beiden Ebenen
Die Ebene
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene
Aufgabe 8
Neun Spielkarten (vier Asse, drei Könige und zwei Damen) liegen verdeckt auf dem Tisch.
- Peter dreht zwei zufällig gewählte Karten um und lässt sie aufgedeckt liegen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
: Es liegt kein Ass aufgedeckt auf dem Tisch. : Eine Dame und ein Ass liegen aufgedeckt auf dem Tisch.
- Die neun Spielkarten werden gemischt und erneut verdeckt ausgelegt. Laura dreht nun so lange Karten um und lässt sie aufgedeckt auf dem Tisch liegen, bis ein Ass erscheint. Die Zufallsvariable
gibt die Anzahl der aufgedeckten Spielkarten an.
Welche Werte kannannehmen?
Berechnen Sie. (4 VP)
Aufgabe 9
Gibt es eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph drei Wendepunkte besitzt? Begründen Sie Ihre Antwort.
Lösung
Lösung zu Aufgabe 1
Die Funktion
Lösung zu Aufgabe 2
Für die Stammfunktion einer linear verketteten Funktion der Form
Lösung zu Aufgabe 3
Durch Multiplikation der Gleichung mit
Lösung zu Aufgabe 4
Schnittstellen von und
Gesucht sind die Lösungen der folgenden Gleichung
Berechnung des Flächeninhalts
Im folgenden Schaubild sind die Graphen der Funktionen
Lösung zu Aufgabe 5
Die Aussagen haben folgende Bedeutung.
(1)
(2)
(3)
(4) Für
Die folgende Skizze enthält nur gegebene Informationen, es gibt weitere Möglichkeiten für den Verlauf des Graphen.
Lösung zu Aufgabe 6
Koordinatengleichung der Ebene
Eine Geradengleichung von
Schnittpunkt von und
Der Schnittpunkt
Lage des Punktes
Der Punkt
Lösung zu Aufgabe 7
Parallelität der Ebenen und
Zwei Ebenen sind genau dann parallel, wenn die Normalenvektoren Vielfache voneinander sind.
Deshalb wird geprüft, ob die Normalenvektoren ein Vielfaches voneinander sind.
Der Normalenvektor der Ebene
Alternativer Weg
Der Normalenvektor der Ebene
Koordinatengleichung der Ebene
Die Ebene
Ein beliebiger Punkt von
Somit gilt für den Mittelpunkt
Lösung zu Aufgabe 8
Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten betragen
-
Bei dem Experiment handelt es sich um ein zweimaliges Ziehen ohne Zurücklegen.
Wahrscheinlichkeit von
Bei dem Ereignis
werden die Karten unterschieden zwischen "Ass" und "kein Ass". Dabei gilt bei der ersten umgedrehten Karte Ist die erste umgedrehte Karte kein Ass, so ist diese Wahrscheinlichkeit für die zweite Karte nur noch
. Folglich lautet die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis : Alternativer Weg
Jede Kombination zweier Karten ist gleich wahrscheinlich, hierfür gibt esMöglichkeiten. Da es Karten gibt, die kein Ass sind, umfasst das Ereignis davon genau Möglichkeiten. Somit gilt: Wahrscheinlichkeit von
Bei dem Ereignis
unterscheidet man zwischen "Dame"beim ersten Zug, "Ass"beim zweiten Zug und umgekehrt. Damit gilt Alternativer Weg
Da vier Asse und zwei Damen vorhanden sind, gibt esMöglichkeiten, zwei Karten auszuwählen, sodass eine eine Dame und eine ein Ass ist. Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit von : -
Wird gleich beim ersten Drehen ein "Ass"aufgedeckt, dann ist
. Deckt man erst die anderen Karten auf und hat erst beim sechsten Drehen ein "Ass" so ist . Unter den ersten aufgedeckten Karten ist auf jeden Fall ein Ass, sodass größere Werte nicht möglich sind. Also kann die Zufallsvariable folgende Werte annehmen: Die Wahrscheinlichkeit dafür, höchstensKarten auf dem Tisch zu haben, beträgt: Alternativer Weg
Das Gegenereignis, dass mehr alsKarten aufgedeckt werden, tritt genau dann ein wenn die ersten beiden Karten kein Ass sind. Die Wahrscheinlichkeit hierfür wurde bereits in Teilaufgabe a) berechnet, folglich ist Lösung zu Aufgabe 9
Der Graph einer Funktion
hat an einer Stelle genau dann einen Wendepunkt, wenn die zweite Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt. Die zweite Ableitung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist eine Funktion zweiten Grades:
Die Gleichungkann maximal zwei Lösungen haben. Folglich kann der Graph einer Funktion vierten Grades höchstens zwei Wendepunkte besitzen.